第202章二项式定理之实例深究
数日已过,戴浩文于讲堂之上,再论二项式定理之妙处。其身着素袍,手持戒尺,目光炯炯,环视诸生。
言曰:“前番已授汝等二项式定理之要义,今当以实例详析,以增汝等之领悟。”
遂于黑板书一题:“今有一商人,欲购货物,其价依二项式(a+b)^n而定,其中a为原价,b为涨幅,n为购货之次数。若原价为十金,涨幅为三金,购货三次,试求其总价几何?”
诸生见此题,皆低头沉思,奋笔疾算。
少顷,一生起身答曰:“先生,依二项式定理展开,可得总价为a^3+3a^2b+3ab^2+b^3,代入数值,即为10^3+3×10^2×3+3×10×3^2+3^3=1000+900+270+27=2197金。”
戴浩文微微颔首,曰:“善。然此仅为其一例,再观此题。”
又书一题:“某工匠制器,其成功率为(a+b)^n,其中a为成功之概率,b为失败之概率,n为制器之数。若成功概率为半,制器五次,求至少成功三次之概率。”
诸生闻此,交头接耳,讨论纷纷。
一聪慧之生言道:“先生,此当用二项式定理分别算出成功三次、四次、五次之概率,再相加可得。”
戴浩文笑曰:“然也。汝等速速计算。”
诸生遂埋头苦算,良久,得数而出。
戴浩文曰:“善哉。今再看此例。”
复书一题:“一军出征,其胜败之数依二项式而定。若胜之概率为七成,出战八次,求胜五次之概率及期望之胜数。”
诸生观此题,难度更甚,然未有退缩之意,皆全力思索。
一学子率先算出:“先生,胜五次之概率为C(8,5)×0。7^5×0。3^3,期望之胜数为8×0。7=5。6。”
戴浩文抚须赞曰:“妙极!由此可见,二项式定理于此类问题之解决,功莫大焉。”
又道:“且看此题。古之农田,稻麦之收成因年而异,其丰收之率若以二项式表之。设初年均收为百石,丰年增率为二成,灾年减率为一成,历经十载,试算总收之数。”
众学子绞尽脑汁,推演算式。
有一生答曰:“先生,依理展开计算,可得总收约为千五百石。”
戴浩文曰:“差强人意。当更细心思之。”
继而再出一题:“昔有巧匠造楼,其进度依二项式行之。若初始每日建十丈,速增之率为半成,工期三十日,问终成之高几何?”
诸生苦思冥想,终得答案。
戴浩文曰:“汝等可知,二项式定理于天文历法、水利工程,亦多有用处。如测星辰之轨迹,算河水流速,皆可依此理推之。”
遂又举例详解,诸生如痴如醉,沉浸其中。